Математические методы в практической морфометрии

Измерение площади, количества и длины объектов с незапамятных времен вошло в человеческую практику. Уже в древнеегипетских папирусах содержится правила измерения размеров житниц египетских фараонов. С тех пор прошло три с половиной тысячелетия, на протяжении которых способы вычисления их, непрерывно совершенствовались. С развитием науки и техники возникла острая проблема вычислять площади и длины не только правильных многоугольников, но и других плоских фигур. Первые шаги здесь сделали Архимед и итальянский монах Бонавентура Кавальери, а окончательно решили эту проблему И. Ньютон и Г. Лейбниц. В одном из своих трудов Исаак Ньютон написал: «Движение Вселенной можно вычислить. Однако человеческую душу исчислить невозможно…». К сожалению, великий английский математик, физик и астроном ошибся!

Однажды передо мной поставили вопрос: «Как вычислить размер легких у человека, с помощью математики?» С начало, я удивился, подумав, это вопрос, относящийся только к медицине и не смог решить данную проблему. Но это меня заинтересовало, после поисков ответа, я выяснил, что существует наука, морфометрия, связывающая математику и медицину.

Морфометрия (от греч. morphe — форма) – раздел биометрии, изучающий морфологические элементы человека и их связи с помощью математических методов исследования.

Морфологов, чаще всего интересуют такие характеристики клеток, органов и тканей, как абсолютный и удельный: размер, длина, площадь поверхности и количество объектов.

Один из самых простых способов измерения величины объектов, является сравнение органа с правильными геометрическими фигурами, например: круг(1,17-1,73) прямоугольник(1,74-2,69), треугольник(1,9-3,75), где величины, записанные в скобках – это средняя погрешность, при вычислении измеряемая в миллиметрах.

Для более точных характеристики объектов, нужно использовать другие морфометрические параметры.

Количество объектов

Предположим, что мы рассматриваем в микроскоп некоторый объект, представленный площадью сечения различной геометрической формы (круг, треугольник, прямоугольник), линий или точек.

Такое представление несколько условно. При большем увеличении точечные объекты приобретут реальные размеры и формы, при меньшем часть объектов станут точечными. На рисунке изображено 30 объектов-точек. Это абсолютная величина, которая мало нас интересует: поскольку она зависит от площади наблюдения. Правильнее использовать относительные величины. Если количество объектов N находятся на площади А, то на единице площади должно находиться объектов. Эту величину называют удельным количеством и обозначают .

Вычислим удельное количество объектов для данного нам объекта, его площадью 24см2 NA=1,25 точек/см2 .

Площадь объектов

Используемые в стереологии методы определения площади объектов отличаются от привычных способов измерения площади геометрических фигур. Как правило, биологические структуры имеют неправильную форму. Как измерить периметр, площадь или длину подобных объектов? Можно использовать специальные приборы, которые фото способом или используя проекционный микроскоп, создадут увеличенную копию, затем планиметром и курвиметром или методом взвешивания графических копий измерить на ней требуемые параметр. Большая трудоемкость этих способов заставила искать более подходящие пути решения этой проблемы. Математическими средствами были созданы методы, позволяющие измерять площадь объектов неправильной формы непосредственно в поле зрения микроскопа.

Общая площадь объектов, как и их количество, зависит от площади наблюдения: чем последняя больше, тем больше площадь сечений структур в нее попадает.

Таким образом, если объекты общей площадью S находятся на площади A, то на единице площадью S находятся площадь объектов.

Эту величину называют удельной площадью и обозначают SA.

На рисунке общей площадью 24 см2 находятся объекты общей площадью 7,05см2 . Для них удельная площадь SA=0.29см2, иначе говоря, на каждом сантиметре площади наблюдения находятся исследуемые объекты площадью 29мм2.

Также существует еще методы определения удельной площади объектов в поле зрения – это точечный счет и линейное интегрирование.